"Kant  y la matemática". Javier de Lorenzo.

29.10.2026.

Introducción.

Hay autores que la filosofía de la matemática empieza con Frege, lo anterior es prehistoria. Frege creó la lógica formal, plantendo los problemas claves de la filosofía matemática (fm). Pero él lo que hace es prefeccionar el pensamiento de Kant en la aritmética y lo aplica a la geometría.

Aunque Knt no tenga tratados de fm su vida está enfocada en ella y ataca a los matemáticos de no hacer un fm. Muchos autores han llegado a esa conclusión. Y es porque como dicen es lo menos fuerte de Kant.

Pero lo que está claro que si su pensamiento de la fm ha fallado, ha fallado su teoría. Porque para él la matemática es una de las partes del uso de la razón.

Kant defiende que el conocimiento viene de la unión de la sensibilidad y el entendimiento (juicios sintéticos a prori) cuerpo fundamental de las matemáticas.

1.El sistema.

Kant se mueve en la base del empirismo: la verdad de la razón y del hecho. Leibniz usa el principio de contradicción. La razón puede darse por los juicios de identidad dice él. Hume lo despierta en el dogmatismo se centra en la contradicción. Porque el dogmatismo es razón sin experiencia. Y entonces hay que explicar el conocimiento del mundo. El dogmático se ve impotente ante para enlazar razón y hechos.

Leibniz confunde la sensibilidad con el conocimiento y representa lo sensible a las cosas. Y eso precisamente es un dogmático para Kant: confusiones de planos por no hacer la pregunta correcta. Y margina la experiencia.

En la fm hay un problema, el razonamiento singular se ha de dar para que el razonamiento sea universal.

Descartes aclara que el objeto matemático tiene una esencia, independiente al espíritu, inmutable y eterna. Y se capta mediante la intuición. Todos pretenden una solución para la universalidad.

Pero ay dos problemas: justificar la necesidad de particularización y la universalización. Dos problemas que siguen vigentes. Una es la del conocimiento que se resuelve con intuición y el segundo por el proceso constructivo.

Siempre se tiene en cuenta lo epistemológico(conocimiento o científico), modal y lógico que dan juicios:sintéticos y analíticos, juicios a priori y posteriori, y si son necesarias. Esto lo tiene que hacer el filósofo.

La razón según Kant si produce experiencia da conocimiento. Los principios te permiten dar un esquema, o a priori.

La obra no es natural sino condicionada por el sujeto.El matemático demuesra, el autor construye a través de su experiencia.

La ciencia va de la mano a principios naturales:por tanto al no tener experiencia no hay razón. Y exige entendimiento y sensibilidad. Ningún concepto surge a través de lo sistemático. Sólo la intuición da un significado objetivo. Lo que se representa es lo interno.

Espacio y tiempo son subjetivos porque se dan respecto a la receptividad. Son espacio y tiempo sensibles a nuestra intuición.

Pensar es distinto a conocer, y Kant al pensar le suma el conocer. Y si se usa el solo pensar hay que usar la intuición. Las condiciones del sujeto establecen la posibilidad de conocimiento.

Hay matemáticas que no tienen representación figural asociada, son pensamiento puro. Para él espacio es una forma de intuición. Y por tanto posibilidad de crear espacios matemáticos con la sensibilidad. Y esto hace dotar distintos sistemas dependiendo del pensamiento.

Las geometrías no euclideas no estarían encontra de Kant. Y la síntesis de las matemáticas sí. Para las no euclídeas está la intuición.

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Kant admite que el sujeto posee entendimiento y sensibilidad, pero también que la naturaleza se produce según reglas.Todo tiene orden y forma: geométrico (espacio-tiempo) o lógicos (por categorias). Por eso es importante la experiencia.

La ciencia que estudia la sensibilidad es la estética.

Si se han metido elementos psicológicos, metafísicos y antropológicos, desvirtua la naturaleza y la desfigura. Sólo hay una forma simple del pensar. Lo mismo pasa con la verdad , se desvirtua.

La verdad ha de pasar como coherencia, y no tiene que ver con la verdad formal. Y rechaza a los racionalistas. Cada saber no tiene nada que ver con la lógica general pura.También por tanto hay intuciones puras y empíricas.

Hace de la lógica transcendental el puente entre los conceptos e intuiciones. Pero critica, marca límites y barreras. Hace camino a la ciencia. Y no camino al formalismo.

Los juicios serán analíticos ( a través de la identidad ) y sintéticos ( lo contrario). Los analíticos te llevaran a la contrariedad, no aporta experiencia.Es dogma.

La intuición dada por la experiencia es la que amplía el conocimiento. Y el analítico clarifica.

Los juicios matemáticos son analíticos, no aumentan el conocimiento.

Los juicios matemáticos son sintéticos el predicado no está contenido en el sujeto. La matemática es sintetizar y no hay intuición que permita experiencia.

Los saberes peculiares son pequeños éxito al saber global. Es el dogmatismo de la la razón pura.

2.La matemática.

La matemática para Kant es estudiar espacio-timepo y está condicionado por ser conocimiento a la intuición sensible, o como lo llama juicios sintéticos. Forma. Y si se aplicara a la filosofía sería dogma. Genera el espacio-tiempo, y sus conceptos. Sin sensibilidad y experiencia por tanto.

Kant percibe la matemática sensible  y no conceptual, el matemático se le muestra acuando, intuyendo=construir. El matemático ha de ser un proceso continuo sensible. Nunca manipulación de signos, en el espacio y tiempo. Se usan conceptos universales a cualquier fórmula de espacio y tiempo.

Por ejemplo para kant los matemáticos declaran una forma geométrica con curvatura cero, invariante a traslación y rotación. Y por tanto tres cualidades no dadas (y sí por la intución): experiencia, las determinadas por el concepto en sí y los accidentes en la construcción.

La naturaleza no se conoce bien. Sólo por principios matemáticos. Pero no dan lo accidental y por tanto lo dinámico. Los matemáticos dan construcciones a priori. Para Kant se conoce matemáticamente.

Pero para que actue la intuición se tiene que dar el conocimiento. No hay esquemas y esto es un problema porque el esquema es : un a priori y un esquema universal de la imaginación. Al esquema lo llama gato, se imagina un gato pero sin sensibilidad.

Para Kant la geometría es la ciencia de extender lo a priori, ciencia de esquemas:axiomas.

Por ejemplo el espacio euclídeo son normas, las condiciones en las que se dan el espacio. Es caracterizar un terreno de juego.Para Kant el espacio euclídeo es un espacio es un espacio condicionado más uqe el esapcio en sí.

Tener estos axiomas da un tipo de imaginación.Y por tanto un tipo de razón o razonamiento.

Hintikka le da la razón y llega a la conclusión que incluso la razón pura de Kant es un axioma.

Si no hay matemática, por tanto no hay ni geometría ni menos aritmética ni algebra. El espcio y el tiempo está concebido a priori.

Para el l número representa: sucesión de adiciones y una magnitud (quantitas). Está contenida una cosa en muchas . Y se asocia a imágenes. Y por tanto a juicios. Sólo hay fórmulas numéricas.

Para Kant sin números nunca es obstáculo para que se den magnitudes.

Lo analítico sin intuición son los esalvones de la escala matemática.

La matemática no sólo se usa a lo local sino a lo universal.Pero en lo universal la aritmética no encaja con el álgebra: en uno números en otros letras.

Para Kant son inviables los números complejos, no representan nada.

De Newton también dice que aplica matemática a naturaleza. Definir matemática es definir conceptos.

Esos conceptos es lo que erran a los filósofos.

Kant genera la matemática como intuición y experiencia y no como un concepto. KAnt afirma la necesidad de una discilina se elimine la inclinación de la razón de las reglas.

Pensar es distinto de conocer y puede engaar y dejar satisfecho a un inexperto.

3.El constructivismo matemático.

Kant fue el iniciador de fm, y le sigué Poincaré.

Kant afirma sobre las matemáticas sin saber cómo funciona el cálculo infinitesimal.

A la filosofía de Kant muchos matemáticos le agregan el axioma del infinito como Rusell . Y poincaré dice que se llega a lo finito a través del infinito. La matemática es parte de la lóigica por tanto.

La escuela americana en los años treinta le llama a esto algoritmo.

El hacer matemático es finitista según la razón pura de Kant. Se realiza en campos de juegos.

Frege sostiene que las geometrías no euclídeas  son formas de pensar como certificó Kant. Poincaré sostiene lo mismo que Kant y va más allá, la razón crea la matemática y y condicionada por esta.